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-- Fortgeschrittene Funktionale Programmierung,
-- LMU, TCS, Wintersemester 2015/16
-- Steffen Jost, Alexander Isenko
--
-- Übungsblatt 06a. 25.11.2015
--
-- Thema: Monaden-Gesetze, Erste Schritte mit Monaden und Do-Notation
--
-- Hier machen wir ein paar erste Schritte mit Monaden.
-- Wer das alles schon kennt und bereits von woanders her
-- mit der Do-Notation vertraut ist, sollte stattessen
-- die B-Version dieses Übungsblattes machen:
-- einen applikativen Parser bauen.
--
-- Gehen Sie diese Datei durch und bearbeiten Sie
-- alle Vorkommen von undefined bzw. die mit -- !!! TODO !!!
-- markierten Stellen. Testen Sie Ihre Lösungen mit GHCi!
---- A6-1 Monaden Gesetze nachweisen
--
--
-- a)
-- Auf Folie 04-42 fehlt der Beweis für die Assoziativität
-- Maybe-Instanz für die Typklasse Monad.
-- Führen Sie den Beweis aus!
-- (Geht ganz analog zu den anderen beiden Beweisen, d.h.
-- Definitionen ausfalten und umformen.
-- Bei Abgabe: Bitte zusätzlich kurze Begründung für jeden Schritt angeben!)
{-
Zu Zeigen:
Ausdruck
m >>= (\x-> ((f x) >>= g))
ist gleich zu
(m >>= f) >>= g
-}
-- !!! TODO !!!
-- b)
{- Beweisen Sie, dass folgende Definition
instance Monad [] where
return x = [x] -- (Mo1)
xs >>= f = concat (map f xs) -- (Mo2)
das Monaden-Gesetz "Links-Identität" einhält!
Folgende Definition sind dabei eventuell nützlich:
concat :: [[a]] -> [a]
concat [] = [] -- (CcN)
concat (xs:xss) = xs ++ concat xss -- (CcC)
(++) :: [a] -> [a] -> [a]
(++) xs [] = xs -- (ANr)
(++) [] ys = ys -- (ANl)
(++) (x:xs) ys = x : (xs ++ ys) -- (ACl)
map :: (a -> b) -> [a] -> [b]
map _ [] = -- (MpN)
map f (x:xs) = (f x) : (map f xs) -- (MpC)
-}
-- !!! TODO !!!
---- A6-2 Either-Monade und Do-Notation
--
-- In der vorletzten Vorlesung am 12.11. haben wir gesehen
-- wie der Datentyp Either der Standardbibliothek zum
-- Funktor gemacht werden kann.
--
-- Machen Sie diesen Datentyp nun zu einer Monade!
-- Um Namenskonflikten aus dem Weg zu gehen,
-- definieren wir Either einfach noch mal neu:
data Entweder a b = Eines a | Anderes b
deriving (Show, Eq)
-- Die Idee ist dabei die gleiche wie bei Maybe,
-- nur das "Nothing" hier noch einen Wert tragen kann.
instance Functor (Entweder a) where
fmap f (Anderes x) = Anderes $ f x
fmap _ (Eines x) = Eines x -- Because x@(Either a b) is not (Either a c), even if we can prove that x is Left.
instance Applicative (Entweder a) where
pure = Anderes
(Anderes f) <*> (Anderes x) = Anderes $ f x
(Eines x) <*> _ = Eines x -- ditto
_ <*> (Eines x) = Eines x
instance Monad (Entweder a) where
(Anderes a) >>= f = f a
(Eines x) >>= _ = Eines x -- ditto
-- Applicative Tests:
-- (*) <$> (Anderes 3) <*> (Anderes 4)
-- (*) <$> (Eines 3) <*> (Anderes 4)
-- (*) <$> (Anderes 3) <*> (Eines 4)
-- b)
-- Verallgemeinern Sie folgende gewöhnlichen Funktionsdefinition,
-- welche Kenntnis des Typs Entweder voraussetzen.
-- Schreiben Sie jeweils eine generische Fassung,
-- welche nur die Monaden-Instanz oder, wenn möglich,
-- nur Applicative voraussetzt:
-- b1) Beispiel:
multEnt :: (Num b) => (Entweder a b) -> (Entweder a b) -> (Entweder a b)
multEnt (Anderes x) (Anderes y) = Anderes (x * y)
multEnt (Anderes _) other = other
multEnt other _ = other
multEnt_M :: (Num b, Monad m) => m b -> m b -> m b
multEnt_M = multEnt_A -- The monad-applicative proposal was implemented ;-)
multEnt_A :: (Num b, Applicative f) => f b -> f b -> f b
multEnt_A a b = (*) <$> a <*> b
-- b2)
foo :: (Entweder a (b->c)) -> (Entweder a b) -> (Entweder a c)
foo (Anderes f) (Anderes x) = Anderes $ f x
foo (Eines a) _ = Eines a
foo _ (Eines a) = Eines a
foo_M :: (Monad m) => (m (b->c)) -> (m b) -> (m c)
foo_M = foo_A
foo_A :: (Applicative m) => (m (b->c)) -> (m b) -> (m c)
foo_A f x = ($) <$> f <*> x
-- b3)
ifM :: (Entweder a Bool) -> (Entweder a b) -> (Entweder a b) -> (Entweder a b)
ifM (Anderes True) x _ = x
ifM (Anderes False) _ y = y
ifM (Eines a) _ _ = Eines a
ifM_M :: (Monad m) => m Bool -> m b -> m b -> m b
ifM_M = ifM_A
ifM_A :: (Applicative f) => f Bool -> f b -> f b -> f b
ifM_A b x y = bool <$> x <*> y <*> b
bool :: a -> a -> Bool -> a
-- ^ This should really be in Prelude (Data.Bool at least)
bool x _ True = x
bool _ x False = x
---- A6-3 Do - Notation
--
-- Implementieren Sie folgende Funktion unter Verwendung der Do-Notation:
-- Hinweis: Einfach den Typen folgen, alles andere kommt von allein!
filterM :: Monad m => (a -> m Bool) -> [a] -> m [a]
filterM p = foldr trav (return [])
where
trav x xs = bool (x :) id <$> p x <*> xs -- Applicative is cooler than do notation ;-)
trav' x xs = do -- But if I must …
include <- p x
xs' <- xs
return $ case include of
True -> x : xs'
False -> xs'
-- Beispiele zum Testen:
silly1 :: Int -> Maybe Bool
silly1 0 = Nothing
silly1 x = Just $ even x
silly2 :: Int -> [Bool]
silly2 0 = []
silly2 x | even x = [False,True,True,False]
| otherwise = [False,False]
-- > filterM silly [1..10]
-- Just [2,4,6,8,10]
-- > filterM silly $ [1..10]++[1,0,1]
-- Nothing
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