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-- Fortgeschrittene Funktionale Programmierung,
-- LMU, TCS, Wintersemester 2015/16
-- Steffen Jost, Alexander Isenko
--
-- Übungsblatt 03 am 3.11.2015
--
-- Thema:
--
-- Anweisung:
-- Gehen Sie diese Datei durch und bearbeiten Sie
-- alle Vorkommen von undefined bzw. die mit -- !!! TODO !!!
-- markierten Stellen. Testen Sie Ihre Lösungen mit GHCi!
--
--
import Data.List (groupBy)
import Data.Function (on)
-- Bearbeiten Sie zuerst Übungsblatt 02 vollständig!
---- A3-1 Funktoren
--
-- Machen Sie folgende Datentypen zur einer Instanz der Klasse Functor.
-- Versuchen Sie dabei, möglichst nicht in die Folien zu schauen!
-- (Falls Sie doch in die Folien schauen, dann möglichst nur 2-25 und 2-31ff.;
-- da die Beispiele 2-28 und 2-29 nahezu die komplette Lösung verraten.)
-- a)
data Options a = None | One a | Two a a | Three a a a
deriving (Ord, Show)
-- Wenn wir nur die ersten beiden Konstuktoren von "Options" betrachten,
-- dann haben wir genau den Datentyp "Maybe" aus der Standardbibliothek.
instance Functor Options where
fmap _ None = None
fmap f (One a) = One (f a)
fmap f (Two a b) = Two (f a) (f b)
fmap f (Three a b c) = Three (f a) (f b) (f c)
-- Zum Testen:
testO0 = None
testO1 = One 4.2
testO2 = Two 4.2 6.9
-- Tests auskommentierbar, sobald Functor Instanz definiert:
testa1 = None == fmap (+2) testO0
testa2 = Two 8.4 13.8 == fmap (*2) testO2
-- b)
data Tree a = Node a [Tree a]
deriving (Eq, Show)
--Hilfsfunktion
leaf :: a -> Tree a
leaf x = Node x []
instance Functor Tree where
fmap f (Node a xs) = Node (f a) $ map (fmap f) xs
-- Zum Testen:
testT1 = Node 1 [Node 2 [Node 3 [], leaf 4, Node 5 [leaf 6, leaf 7, leaf 8]], leaf 9, Node 10 [leaf 11]]
testT2 = Node False [Node True [Node False [],leaf True,Node False [leaf True,leaf False,leaf True]],leaf False,Node True [leaf False]]
-- Test auskommentierbar, sobald Functor Instanz definiert:
testb1 = testT2 == (fmap even testT1)
---- A3-2 Funktor (->) a
--
-- Die Standardbibliothek definiert eine Funktor-Instanz für den Typ "(->) a".
-- Wir wollen hier herausfinden, was dies bedeutet:
--
-- Der Typ "(->) a" ist ein Typ mit einem ``Loch'',
-- so wie die Typen "Tree" oder "[ ]" auch.
-- Die runde Klammer bedeutet lediglich Präfix-Notation anstatt Infix-Notation.
-- Wenn wir also einen Typ "b" hineingeben wird daraus der Typ (im vertrauten Infix)
-- a -> b
-- ganz analog wird aus "Tree" oder "[ ]" zu "Tree b" oder "[b]".
--
-- a) Welchen konkreten Typ bekommt die Funktion "fmap"
-- für die Funktor-Instanz von "(->) a"?
--
-- Hinweis: Ein Beispiel findet sich auf Folie 2-26.
-- Oben ist der allgemeine Typ von fmap angegeben.
-- Unten dann nochmal konkreter für die Listen-Instanz.
{-
fmap :: Functor f => (a -> b) -> f a -> f b
fmap :: (a -> b) -> (x -> a) -> (x -> b)
-}
-- b) Die Standardbibliothek enthält bereits eine Funktion des in a) gefundenen Typs!
-- Wie heisst diese Funktion und was macht sie?
-- Testen Sie anschließend in GHCI, ob sie die Funktion
-- tatsächlich mit fmap vertauschen können!
--
-- Hinweis: Diese Funktion wird Ihnen in einer Vorlesung über
-- funktionaler Programmierung mit Sicherheit begegnet sein,
-- da sie von fundamentaler Bedeutung ist.
-- (Jedoch sicherlich nicht als Funktor behandelt... ;) )
{-
fmap ist hier identisch zu (.)
λ ((\a -> (a, a)) `fmap` (+ 2)) 2
(4,4)
-}
---- A3-3 Unendliche Listen
--
-- a) Definieren Sie die unendliche Liste alle Zweierpotenzen: [1,2,4,8,16,32,64,128,256,..]
quadrate :: [Integer]
quadrate = map (2^) [0..]
quadrate' :: [Integer] -- More efficient (probably)
quadrate' = 1 : [2 * x | x <- quadrate']
-- Zum Testen:
q1 = take 5 quadrate
-- > q1
-- [1,2,4,8,16]
q2 = quadrate !! 10
-- > q2
-- 1024
-- b) Definieren Sie eine unendliche Liste, welche alle
-- erdenklichen Strings aus den Buchstaben ['a','b','c','d'].
-- Die Reihenfolge ist relativ egal, aber kürzere Strings sollen vor längeren Erscheinen;
-- d.h. "dd" kommt nach "b", aber vor "abc"
alleVariablen :: [String]
alleVariablen = seed : alleVariablen' [seed]
where
seed = ""
vars = ['a','b','c','d']
alleVariablen' prevs = now ++ alleVariablen' now
where
now = [v : p | v <- vars, p <- prevs]
alleVariablen' :: [String] -- Preferred.
alleVariablen' = "" : [v : p | p <- alleVariablen', v <- vars]
where
vars = ['a', 'b', 'c', 'd']
-- Zum Testen:
check l x = (map length . groupBy ((==) `on` length)) (take x l)
-- Beispielimplementierung (muss nicht identisch sein):
-- > take 30 alleVariablen
-- [""
-- ,"a" ,"b" ,"c" ,"d"
-- ,"aa" ,"ab" ,"ac" ,"ad" ,"ba" ,"bb" ,"bc" ,"bd" ,"ca" ,"cb","cc","cd","da","db","dc","dd"
-- ,"aaa","aab","aac","aad","aba","abb","abc","abd","aca"]
--
-- Prüfe Längen:
-- > check alleVariablen 30
-- [1,4,16,9]
-- A3-4 Instanzen
-- Wer sich mit Klassen und Instanzen noch nicht so sicher fühlt,
-- sollte zur Übung die automatisch abgeleiteten Instanzdeklaration
-- für die Datentypdeklarationen in A3-1 von Hand deklarieren;
-- also z.B.
-- von "Options" zur Typklassen "Eq"
-- von "Tree a" zur Typklasse "Ord"
--
-- sie müssen oben in den Datentypdeklarationen dann natürlich
-- die entsprechenden Klassen aus Zeile mit "deriving" herauslöschen
-- da es ja immer nur _eine_ Instanzdeklaration pro Typ/Klassen-Paar geben darf
instance Eq a => Eq (Options a) where
None == None = True
None == _ = False
One a == One a' = a == a'
One _ == _ = False
Two a b == Two a' b' = a == a' && b == b'
Two _ _ == _ = False
Three a b c == Three a' b' c' = a == a' && b == b' && c == c'
Three _ _ _ == _ = False
instance Ord a => Ord (Tree a) where
compare (Node x xs) (Node x' xs') = compare x x' `mappend` compare xs xs'
where
-- Siehe Data.Monoid
mappend LT _ = LT
mappend EQ EQ = EQ
mappend EQ LT = LT
mappend EQ GT = GT
mappend GT _ = GT
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