a) Disjunkte Mengen bilden ein Gegenbeispiel:

\begin{align*}
A &= \{ a \} \\
B &= \{ b \} \\
C &= \{ c \} \\
D &= \{ d \} \\
A - (B - (C - D)) &= \{ a \} \\
(A \cup C) - (B \cup D) &= \{ a, c \}
\end{align*}

<!-- Es sei $\Omega = A \cup B \cup C \cup D$ -->

<!-- \begin{align*} -->
<!-- \ & A - (B - (C - D)) = (A \cup C) - (B \cup D) \\ -->
<!-- \underset{\text{Extens.}}{\lequiv}& \forall x \in \Omega .\ \iota_A(x) \land \lnot (\iota_B(x) \land \lnot (\iota_C(x) \land \lnot \iota_D(x))) \lequiv (\iota_A(x) \lor \iota_C(x)) \land \lnot (\iota_B(x) \lor \iota_D(x)) \\ -->
<!-- \lequiv& \forall x \in \Omega .\ \iota_A(x) \land (\lnot \iota_B(x) \lor (\iota_C(x) \land \lnot \iota_D(x))) \lequiv (\iota_A(x) \lor \iota_C(x)) \land (\lnot \iota_B(x) \land \lnot \iota_D(x)) \\ -->
<!-- \lequiv& \forall x \in \Omega .\ (\iota_A(x) \land \lnot \iota_B(x)) \lor (\iota_A(x) \land \iota_C(x) \land \lnot \iota_D(x))) \lequiv (\iota_A(x) \land \lnot \iota_B(x) \land \lnot \iota_D(x)) \lor (\lnot \iota_B(x) \land \iota_C(x) \land \lnot \iota_D(x)) -->
<!-- \end{align*} -->

b) Es sei $\Omega = A \cup B$ und für eine Menge $X$ sei $\bar X = \Omega - X$.
$\Omega$ bildet mit $\cap, \cup$ und dem soeben definierten Komplement eine boolsche Algebra.

Die Differenz $A - B$ ist definiert als $A \cap \bar B$.

\begin{align*}
(A - B) \cup (B - A) &\underset{\text{\scriptsize Diff.}}{=} (A \cap \bar B) \cup (B \cap \bar A) \\
&\underset{\text{\scriptsize Dist.}}{=} ((A \cap \bar B) \cup B) \cap ((A \cap \bar B) \cup \bar A) \\
&\underset{\text{\scriptsize Dist.}}{=} ((A \cup B) \cap (\bar B \cup B)) \cap ((A \cup \bar A) \cap (\bar B \cup \bar A)) \\
&\underset{\text{\scriptsize Tnd.\footnotemark}}{=} (A \cup B) \cap (\bar A \cup \bar B) \\
&\underset{\text{\scriptsize Diff.}}{=} (A \cup B) - (A \cap B)
\end{align*}
\footnotetext{Tertium non datur}