\begin{comment}
\begin{code}
module Control.Lens.Edit
  ( Module(..)
  , StateMonoidHom
  , HasEditLens(..)
  , EditLens(..)
  , module Control.Edit
  ) where

import Control.Edit
\end{code}
\end{comment}

\begin{defn}[Zustandsbehaftete Monoidhomomorphismen]
Mit einer Menge von Komplementen $C$ und Monoiden $M$ und $N$ nennen wir eine partielle Funktion $\psi \colon C \times M \to C \times N$ einen zustandsbehafteten Monoidhomomorphismus wenn sie den folgenden Ansprüchen genügt:

\begin{itemize}
   \item $\forall c \in C \colon \psi(1_M, c) = (1_N, c)$
   \item Mit $\psi(m, c) = (n, c^\prime)$ und $\psi(m^\prime, c^\prime) = (n^\prime, c^{\prime \prime})$:

     $$\psi(m m^\prime, c) = (n n^\prime, c^{\prime \prime})$$
\end{itemize}

\begin{code}
-- | A stateful monoid homomorphism
type StateMonoidHom s m n = (s, m) -> (s, n)
\end{code}
\end{defn}

\begin{defn}[edit-lenses]
Für Moduln $M$ und $N$ besteht eine symmetrische edit-lens zwischen $M$ und $N$ aus zwei zustandsbehafteten Monoidhomomorphismen $\Rrightarrow \colon C \times \partial M \to C \times \partial N$ und $\Lleftarrow \colon C \time \partial N \to C \times \partial M$, mit kompatiblem Komplement $C$, einem ausgezeichneten Element $\ground_C$ und einer \emph{Konsistenzrelation} $K \subset \Dom M \times C \times \Dom N$ sodass gilt:

\begin{itemize}
  \item $(\init_M, \ground_C, \init_N) \in K$
  \item Für beliebige $m \in \Dom M, n \in \Dom n, \partial m \in \partial M, \partial n \in \partial N, c \in C$ folgt, wenn $m \cdot \partial m$ definiert ist und $\Rrightarrow(c, \partial m) = (c, \partial n)$ gilt:

    \begin{itemize}
      \item $n \cdot \partial n$ ist ebenfalls definiert
      \item $(m \cdot \partial m, c^\prime, n \cdot \partial n) \in K$
    \end{itemize}
  \item Analog für $\Lleftarrow$
\end{itemize}

Wir schreiben auch nur \emph{edit-lens} für den symmetrischen Fall\footnote{Für den asymmetrischen Fall siehe \cite{johnson2016unifying}}.

In Haskell erwähnen wir die Konsistenzrelation nicht in der Erwartung, dass $\Rrightarrow$ und $\Lleftarrow$ nur auf konsistente Zustände angewandt werden (und somit auch entweder einen konsistenten Zustand erzeugen oder nichtt definiert sind):

\begin{code}
data EditLens c m n where
  EditLens :: c -> StateMonoidHom c m n -> StateMonoidHom c n m -> EditLens c m n

class (Module m, Module n) => HasEditLens l m n | l -> m, l -> n where
  type Complement l :: *
  ground :: l -> Complement l
  -- ^ A default state from 'Complement l'
  propR :: l -> StateMonoidHom (Complement l) m n
  -- ^ Map edits of 'm' to changes of 'n', maintaining some state from 'Complement l'
  propL :: l -> StateMonoidHom (Complement l) n m
  -- ^ Map edits of 'n' to changes of 'm', maintaining some state from 'Complement l'

-- | Inspect the components of an edit lens (e.g. 'EditLens')
instance (Module m, Module n) => HasEditLens (EditLens c m n) m n where
  type Complement (EditLens c m n) = c
  ground (EditLens g _ _) = g
  propR  (EditLens _ r _) = r
  propL  (EditLens _ _ l) = l
\end{code}
\end{defn}

\paragraph{Kompatibilität mit bestehenden lens frameworks}

Das einschlägige bestehende lens framework \cite{lens} konstruiert seine Linsen alá \citeauthor{laarhoven} wie folgt:

\begin{defn}[lenses alá \citeauthor{laarhoven}]
Für Typen $n$ und $m$ ist eine \emph{lens} $\ell$ von $n$ in $m$ eine Abbildung\footnote{Gdw. die betrachtete Linse einen Isomorphismus kodiert wird auch über den verwendeten Profunktor anstatt $\to$ quantifiziert} folgender Struktur:

$$ \forall f \, \text{Funktor} \colon \left ( \ell \colon \left ( m \to f(m) \right ) \to \left ( n \to f(n) \right ) \right )$$

Durch geschickte Wahl des Funktors\footnote{\texttt{Const} bzw. \texttt{Identity}} $f$ können dann $\searrow \colon m \to n$ und $\nearrow \colon (m \to m) \to (n \to n)$ rekonstruiert werden oder verwandte Strukturen (folds, traversals, …) konstruiert werden.
\end{defn}

Es liegt nun nahe $\nearrow \colon (m \to m) \to (n \to n)$ mit $\Rrightarrow \colon \partial m \to \partial n$ zu identifizieren.
Und in der Tat, eine Funktion $\text{map} \colon (o \to o) \to \partial o$ für $o \in \{ m, n \}$ würde van Laarhoven-lenses in edit-lenses einbetten.
Die charakteristische Eigenschaft der Betrachtung als edit-lens, nämlich die algebraische Struktur von $\partial o$, würde hierbei jedoch notwendigerweise verloren gehen.

Wegen diesem Argument haben wir entschieden keine Komponierbarkeit (durch $\text{id} \colon a \to a$ und $\circ \colon (b \to c) \to (a \to b) \to (a \to c)$, wie in \cite{lens}) von edit-lenses mit van Laarhoven-lenses anzustreben.