\begin{comment}
\begin{code}
module Control.Edit
  ( Module(..) 
  , ModuleHom
  ) where
\end{code}
\end{comment}

\begin{defn}[Moduln]
Ein Modul $M$ ist eine \emph{partielle Monoidwirkung} zusammen mit einem schwach-initialen Element\footnote{Gemeint ist hier die übliche Definition von \emph{schwach-initial} aus der Kategorientheorie—ein Modul $M$ bildet eine Kategorie mit Objekten aus $\Dom M$ und Morphismen von $x$ nach $y$ den Monoidelementen $\partial x \in \partial M$ sodass $x \cdot \partial x = y$} (bzgl. der Monoidwirkung) auf dem Träger, d.h. $M = (\Dom M, \partial M, \init_M)$ ist ein Tupel aus einer Trägermenge $\Dom M$, einem Monoid $\partial M$ zusammen mit mit einer partiellen Funktion $\cdot \colon \Dom M \times \partial M \to \Dom$, die \emph{kompatibel} ist mit der Monoid-Struktur:

\begin{itemize}
  \item $\forall m \in \Dom M \colon m \cdot 1_{\partial M} = m$
  \item $\forall m \in \Dom M, (e, e^\prime) \in (\partial M)^2 \colon m \cdot (e e^\prime) = (m \cdot e) \cdot e^\prime$
\end{itemize}

und einem Element $\init_M \in \Dom M$, sodass gilt:

$$ \forall m \in \Dom M \ \exists \partial m \in \partial M \colon m = \init_M \cdot \partial m$$

Wir führen außerdem eine Abbildung $(\init_M \cdot)^{-1} \colon \Dom M \to \partial m$ ein, die ein $m$ auf ein arbiträr gewähltes $\partial m$ abbildet für das $\init_M \cdot \partial m = m$ gilt.

Für ein $\partial m \in \partial M$ schreiben wir für die Menge aller $m \in \Dom M$, sodass $m \cdot \partial m$ definiert ist auch $\Dom (\partial m)$.

In Haskell charakterisieren wir Moduln über ihren Monoid, d.h. die Wahl des Monoiden \texttt{m} legt den Träger \texttt{Domain m}, die Wirkung \texttt{apply}, das initiale Element \texttt{init} und $(\init_M \cdot)^{-1}$ eindeutig fest\footnote{Betrachten wir mehrere Moduln über dem selben Träger (oder mit verschiedenen Wirkungen) führen wir neue, isomorphe, Typen ein (\texttt{newtype}-Wrappern)}.
Eine Repräsentierung als Typklasse bietet sich an:

\begin{code}
class Monoid m => Module m where
  type Domain m :: *
  apply :: m -> Domain m -> Maybe (Domain m)
  -- ^ A partial monoid-action of `m` on `Domain m`
  --
  -- prop> m `apply` mempty = m
  -- prop> m `apply` (e `mappend` e') = (m `apply` e) `apply` e'
  initial :: Domain m
  -- ^ 'init @m' (TypeApplication) is the initial element of 'm'
  divInit :: Domain m -> m
  -- ^ Calculate a representation of an element of 'Domain m' in 'Del m'
  --
  -- prop> init `apply` divInit m = m
\end{code}
\end{defn}

Wir weichen von der originalen Definition von Moduln aus \cite{hofmann2012edit} darin ab, dass wir für das ausgezeichnete Element $\init_X$ des Trägers explizit (und konstruktiv) fordern, dass es ein schwach-initiales Element bzgl. der Monoidwirkung sei.

\begin{defn}[Modulhomomorphismen]
Unter einem Modulhomomorphismus zwischen Moduln $M$ und $M^\prime$ verstehen wir ein Paar $(f, \phi$) bestehend aus Abbildungen $f \colon \Dom M \to \Dom M^\prime$ und $\phi \colon \partial M \to \partial M^\prime$, sodass gilt:
\begin{itemize}
   \item $\phi$ ist ein Monoidhomomorphismus:

      \begin{itemize}
         \item $\phi(1_{\partial M}) = 1_{\partial M^\prime}$
         \item $\forall (e, e^\prime) \in (\partial M)^2 \colon \phi(e e^\prime) = \phi(e) \phi(e^\prime)$
      \end{itemize}
   \item $f$ erhält das initiale Element:

     $$f(\init_M) = \init_N$$
   \item $f$ und $\phi$ sind \emph{kompatibel}:

     $$\forall m \in \Dom M, e \in \partial M \colon f(m \cdot e) = f(m) \cdot \phi(e)$$
\end{itemize}

\begin{code}
-- | A homomorphism between 'Module's
data ModuleHom m n where
  ModuleHom :: (Module m, Module n) => (Domain m -> Domain n) -> (m -> n) -> ModuleHom m n
\end{code}
\end{defn}