\begin{code}
{-# LANGUAGE ScopedTypeVariables
           , TemplateHaskell
#-}

module Control.DFST.Lens
  ( StringEdit(..)
  , StringEdits(..)
  , insert, delete
  , DFSTAction(..), DFSTComplement
  , dfstLens
  , module Control.DFST
  , module Control.Lens.Edit
  ) where

import Control.DFST
import Control.Lens.Edit
import Control.Lens
import Control.Lens.TH
import Control.Edit

import Numeric.Natural
import Data.Sequence (Seq((:<|), (:|>)))
import qualified Data.Sequence as Seq

import Data.Compositions.Snoc (Compositions)
import qualified Data.Compositions.Snoc as Comp

import Data.Algorithm.Diff (Diff, getDiff)
import qualified Data.Algorithm.Diff as Diff

import Data.Monoid
import Data.Function (on)
import Data.Foldable (toList)


data StringEdit char = Insert { _sePos :: Natural, _seInsertion :: char }
                     | Delete { _sePos :: Natural }
  deriving (Eq, Ord, Show, Read)

makeLenses ''StringEdit

data StringEdits char = StringEdits (Seq (StringEdit char))
                      | SEFail
  deriving (Eq, Ord, Show, Read)

makePrisms ''StringEdits

stringEdits :: Traversal' (StringEdits char) (StringEdit char)
stringEdits = _StringEdits . traverse

insert :: Natural -> char -> StringEdits char
insert n c = StringEdits .  Seq.singleton $ Insert n c
  
delete :: Natural -> StringEdits char
delete n = StringEdits .  Seq.singleton $ Delete n

instance Monoid (StringEdits char) where
  mempty = StringEdits Seq.empty
  SEFail `mappend` _ = SEFail
  _ `mappend` SEFail = SEFail
  (StringEdits Seq.Empty) `mappend` x = x
  x `mappend` (StringEdits Seq.Empty) = x
  (StringEdits x@(bs :|> b)) `mappend` (StringEdits y@(a :<| as))
    | (Insert n _) <- a
    , (Delete n') <- b
    , n == n'
    = StringEdits bs `mappend` StringEdits as
    | otherwise = StringEdits $ x `mappend` y

instance Module (StringEdits char) where
  type Domain (StringEdits char) = Seq char
  apply str SEFail = Nothing
  apply str (StringEdits Seq.Empty) = Just str
  apply str (StringEdits (es :|> Insert n c)) = (flip apply) (StringEdits es) =<< go str n c
    where
      go Seq.Empty n c
        | n == 0 = Just $ Seq.singleton c
        | otherwise = Nothing
      go str@(x :<| xs) n c
        | n == 0 = Just $ c <| str
        | otherwise = (x <|) <$> go xs (pred n) c
  apply str (StringEdits (es :|> Delete n)) = (flip apply) (StringEdits es) =<< go str n
    where
      go Seq.Empty _ = Nothing
      go (x :<| xs) n
        | n == 0 = Just xs
        | otherwise = (x <|) <$> go xs (pred n)

  init = Seq.empty
  divInit = StringEdits . Seq.unfoldl go . (0,)
    where
      go (_, Seq.Empty) = Nothing
      go (n, (c :<| cs)) = Just ((succ n, cs), Insert n c)

\end{code}

% TODO Make notation mathy

Um zunächst eine asymmetrische edit-lens `StringEdits -> StringEdits` mit akzeptabler Komplexität für einen bestimmten `DFST s` (entlang der \emph{Richtung} des DFSTs) zu konstruieren möchten wir folgendes Verfahren anwenden:

Gegeben eine Sequenz (`StringEdits`) von zu übersetzenden Änderungen genügt es die Übersetzung eines einzelnen `StringEdit`s in eine womöglich längere Sequenz von `StringEdits` anzugeben, alle `StringEdits` aus der Sequenz zu übersetzen (hierbei muss auf die korrekte Handhabung des Komplements geachtet werden) und jene Übersetzungen dann zu concatenieren.

Wir definieren zunächst die \emph{Wirkung} eines DFST auf einen festen String als eine Abbildung `state -> (state, String)`, die den aktuellen Zustand vorm Parsen des Strings auf den Zustand danach und die (womöglich leere) Ausgabe schickt.
Diese Wirkungen bilden einen Monoiden analog zu Endomorphismen, wobei die Resultat-Strings concateniert werden.

Die Unterliegende Idee ist nun im Komplement der edit-lens eine Liste von Wirkungen (eine für jedes Zeichen der Eingabe des DFSTs) und einen Cache der monoidalen Summen aller kontinuirlichen Teillisten zu halten.
Da wir wissen welche Stelle im input-String von einem gegebenen edit betroffen ist können wir, anhand der Wirkung des Teilstücks bis zu jener Stelle, den output-String in einen durch den edit unveränderten Prefix und einen womöglich betroffenen Suffix unterteilen.
Die Wirkung ab der betroffenen Stelle im input-String können wir also Komposition der Wirkung der durch den edit betroffenen Stelle und derer aller Zeichen danach bestimmen.
Nun gilt es nur noch die Differenz (als `StringEdits`) des vorherigen Suffixes im output-String und des aus der gerade berechneten Wirkung Bestimmten zu bestimmen.


% Für die Rückrichtung bietet es sich an eine Art primitive Invertierung des DFSTs zu berechnen.
% Gegeben den aktuellen DFST $A$ möchten wir einen anderen $A^{-1}$ finden, sodass gilt:

% \begin{itemize}
%   \item $A^{-1}$ akzeptiert einen String $s^{-1}$ (endet seinen Lauf in einem finalen Zustand) gdw. es einen String $s$ gibt, der unter $A$ die Ausgabe $s^{-1}$ produziert.
%   \item Wenn $A^{-1}$ einen String $s^{-1}$ akzeptiert so produziert die resultierende Ausgabe $s$ unter $A$ die Ausgabe $s^{-1}$.
% \end{itemize}

% Kann nicht funktionieren, denn $A^{-1}$ ist notwendigerweise nondeterministisch. Wird $A^{-1}$ dann zu einem DFST forciert (durch arbiträre Wahl einer Transition pro Zustand) gehen Informationen verloren—$A^{-1}$ produziert nicht den minimale edit auf dem input string (in der Tat beliebig schlecht) für einen gegeben edit auf dem output string.
  
% Stelle im bisherigen Lauf isolieren, an der edit im output-string passieren soll, breitensuche auf pfaden, die sich von dieser stelle aus unterscheiden?
% Gegeben einen Pfad und eine markierte Transition, finde Liste aller Pfade aufsteigend sortiert nach Unterschied zu gegebenem Pfad, mit Unterschieden "nahe" der markierten Transition zuerst — zudem jeweils edit auf dem Eingabestring
% Einfacher ist Breitensuche ab `stInitial` und zunächst diff auf eingabe-strings.
  
\begin{code}

data DFSTAction state input output = DFSTAction { runDFSTAction :: state -> (state, Seq output) }

instance Monoid (DFSTAction state input output) where
  mempty = DFSTAction $ \x -> (x, Seq.empty)
  (DFSTAction f) `mappend` (DFSTAction g) = DFSTAction $ \s -> let ((f -> (s', out')), out) = g s in (s', out <> out')

type DFSTComplement state input output = Compositions (DFSTAction state input output)

dfstLens :: forall state input output. (Ord state, Ord input, Ord output) => DFST state input output -> EditLens (DFSTComplement state input output) (StringEdits input) (StringEdits output)
dfstLens dfst@DFST{..} = EditLens ground propR propL
  where
    ground :: DFSTComplement state input output
    ground = Comp.fromList []

    propR :: (DFSTComplement state input output, StringEdits input) -> (DFSTComplement state input output, StringEdits output)
    propR (c, SEFail) = (c, SEFail)
    propR (c, StringEdits (es :|> e)) = (c', es' <> es'')
      where
        (cSuffix, cPrefix) = Comp.splitAt (Comp.length c - (e ^. sePos . from enum)) c
        cSuffix'
          | Delete _       <- e = Comp.take (pred $ Comp.length cSuffix) cSuffix -- TODO unsafe
          | Insert _ nChar <- e = cSuffix <> Comp.singleton (DFSTAction $ \x -> runDFST' dfst x (pure nChar) Seq.empty)
        (pState, pOutput)  = runDFSTAction (Comp.composed cPrefix) stInitial
        (_, sOutput ) = runDFSTAction (Comp.composed cSuffix ) pState
        (_, sOutput') = runDFSTAction (Comp.composed cSuffix') pState
        (c', es') = propR (cSuffix' <> cPrefix, StringEdits es)
        es'' = strDiff sOutput sOutput' & stringEdits . sePos . from enum +~ Seq.length pOutput
    propR (c, StringEdits Seq.Empty) = (c, mempty)
        

    propL :: (DFSTComplement state input output, StringEdits output) -> (DFSTComplement state input output, StringEdits input)
    propL = undefined

strDiff :: forall sym. Eq sym => Seq sym -> Seq sym -> StringEdits sym
-- ^ @strDiff a b@ calculates a set of edits, which, when applied to @a@, produce @b@
strDiff a b = snd . foldr toEdit (0, mempty) $ (getDiff `on` toList) a b
  where
    toEdit :: Diff sym -> (Natural, StringEdits sym) -> (Natural, StringEdits sym)
    toEdit (Diff.Both _ _) (n, es) = (succ n, es)
    toEdit (Diff.First _ ) (n, es) = (succ n, delete n <> es)
    toEdit (Diff.Second c) (n, es) = (succ (succ n), insert n c <> es)
\end{code}